私は、来月から、地元のスーパーでレジ打ちのパートをすることが決まっていますが、自己破産すると、就職できなくなるのではないかと心配です。

たしかに、破産した場合には、一定の職（警備会社の警備員、保険の外交員等）には就けなくなります。しかし、こうした資格制限も、破産開始決定から免責許可決定が確定するまでの通常数か月の間のことです。
　 ですから、あなたが破産したとしても、上記のようにスーパーでパートをするのは全く自由ですし、仮に、保険の外交員などの破産による資格制限がある仕事に就く場合でも、免責許可決定が確定していれば就職できることになるわけです。