私は、現在の会社で契約社員として働いて８年目です。平成２０年４月１日に、１年契約で入社し、その後、同内容にて更新を７回繰り返してきました。直近の更新は、平成２７年４月１日でした。実際、やっている仕事は正社員と変わらないのに、毎回、契約更新のたびに契約を切られるのではないか、と心配です。会社にいって契約期間の定めのない社員にしてもらうことは出来ないのでしょうか？

残念ながら、現時点では契約期間の定めのない社員にしてもらうことは出来ません。

平成２５年４月１日、改正労働契約法が施行され、有期労働契約期間が５年を超えて繰り返し更新された場合は、労働者の申し込みにより、無期労働契約に転換するとされました。
これまでは、有期労働契約が繰り返される中で、雇い止めといって、契約更新を拒否される方も多数いたため、そうした地位の不安定さを解消するための法律改正です。　
この法律からすると、更新を繰り返されて８年目に入っている相談者の方は、無期労働契約に転換されそうです。
もっとも、この法律は、通算契約期間のカウントを、法律施行日である平成２５年４月１日以降に開始する有期労働契約に限っております。
すなわち、平成２５年３月３１日以前に開始した有期労働契約は、通算契約期間に含まれないため、平成２５年４月１日から、まだ５年経過していない相談者のケースでは、無期労働契約への転換は法的な権利としては認められないことになるのです。