私は、現在の主人と入籍こそしていませんが、２０年以上事実上の夫婦としてともに暮らしていました。夫には、前妻との間に子供が一人います。 先日、　夫が遺言書等を書くことなく、急に死亡してしまいました。夫の財産としては、株式があるのですが、私は、相続人として、その財産を相続することはできるのでしょうか？

残念ながら、あなたのように正式に入籍していない場合には、相続人とはならないため、ご主人の株式を相続することは出来ません。
　日本の民法は、被相続人と一定の身分関係にあるものを相続人として、その範囲と順位を定めています。
　具体的には、子（※１）が第１順位の相続人（民法８８７条）、直系尊属（親など）が第２順位の相続人、兄弟姉妹（※２）が第３順位の相続人であり（民法８８９条）、これとは別に、被相続人の配偶者は、常に相続人となります（民法８９０条）。つまり、相続時に第１順位の子供がいるような場合には、第２順位、第３順位である直系尊属や、兄弟姉妹は相続人とはなりません。子がいない場合に、初めて第２順位の直系尊属が相続人となり、子も直系尊属もいないような場合に、初めて第３順位である兄弟姉妹が相続人となるのです。
　 なお、ここで言う配偶者とは、有効に婚姻届出がなされている夫婦関係における夫または妻をさします。
したがって今回のケースでは、相続人はあなたではなく、ご主人と前妻との間の子供１人ということになります。
ちなみに、ご主人が遺言書によってあなたに財産を遺贈するようなことは自由ですので、万が一のために、ご主人に遺言書を作成しておいてもらうと良いでしょう。
※１　代襲相続人である孫やひ孫を含みます
※２　代襲相続人である甥・姪を含みます。