このたび父に成年後見人をつけることになりそうなのですが、成年後見人に対してどのように報酬（お金）を払うこととなるでしょうか。

成年後見人は、選任されて後見事務を約１年間行った頃、家庭裁判所に対し、事務報告を行い、報酬についての申立を行います（１年と決まっている訳ではありませんが、大体、１年くらいで報酬請求をするよう裁判所も指導しております）。
そして、裁判所が後見人を定める法定後見の場合、成年後見人に支払う報酬額は裁判所が定め、成年被後見人の財産の中からその額が支払われます。但し、親族が成年後見人になる場合、相場としては無償または無償に近い額となり、報酬の申立が行われないことも多いです。
いずれにせよ、あなた自身が費用負担をする必要はありません。