私は、現在賃貸マンションに住んでいるのですが、賃貸借契約書に賃借人として唯一署名している夫が亡くなりました。四十九日を終えた頃、大家さんから「賃借人はあくまでご主人だったのだから、あなたにはそろそろ出て行って欲しい」と言われました。私は、このマンションから出て行かなければならないのでしょうか。

出て行く必要はありません。ご主人が有していたマンションの借家権は、あなたが相続することになります。したがって、大家からの明渡し請求に応じる必要はありません。
なお、大家が明渡しを要求していることからすると、あなたが賃料を支払おうとしても受け取らないことも予想されます。大家が受け取らないからといって賃料を支払わないでいると、賃料不払いを理由に賃貸借契約を解除される危険があります。そこで、大家が賃料の受け取りを拒否する場合には、「賃料を受け取ってもらいたい」旨の内容証明郵便を大家に送付し、その後賃料相当額の金額を供託すると良いと思います。