払うべきお金を払わない相手に請求書を送ろうと思うのですが、弁護士から内容証明を送ると良いと耳に挟みました。私自身が請求書を作成して送るのと弁護士から内容証明を送るのとでは、何が違うのでしょうか。

内容証明郵便とは、郵便局が①郵便を発送したこと②発送した日付③郵便の内容等を事後的に証明する郵便です。内容証明郵便は誰でも作成及び発送することが可能ですが、後に残す証拠を確保する有効な手段として、弁護士に広く利用されています。
また、弁護士は、内容証明郵便を利用する際、④郵便が届いたこと⑤届いた日時を証明する配達証明を付けて内容証明郵便を発送し、証拠としての価値をより高める工夫をすることが通常です。
弁護士が内容証明郵便を用いて相手方に何らかの通知を行う場合、弁護士は事前に内容証明に記載する文面を精査し、依頼人にとって効果的な書き方を工夫します。結果的に、相手方にとってみれば、弁護士から厳しい内容の書面が突然届くことになります。
弁護士が作成する内容証明に特別の効力が生じるわけではありませんが、通常の請求書が届く時と比べれば、相手方に与えるインパクトが相対的に大きいとは言えるでしょう。