銀行預金を差し押さえたのですが、その債務者に預金先の銀行に対する借金がある場合、この預金は相殺されてしまって、私は回収できないのでしょうか？

銀行の債務者に対する債権（貸付金）の発生時期が、預金債権に対する差押決定が銀行に送達された時期よりも早い場合には、相殺が優先します。
通常、銀行から債務者への貸付が先行してなされていますので、このような場合、あなたは、金融機関が相殺をした後、なお預金債権が残っていた場合に限って、残っている部分について回収ができるに過ぎないこととなります。